Gerade aus zwei Punkten

Zwei Punkte reichen – der Rechenweg zu m und n, Schritt für Schritt.

Das Werkzeug

Zwei Punkte setzen

  • Partnerarbeit
  • ca. 10 Min.

Durch zwei Punkte geht genau eine Gerade. Wenn du die beiden Punkte kennst, kannst du m und n ausrechnen — ohne Zeichnung. Setze die Punkte per Klick ins Koordinatensystem oder tipp sie ein.

P₁ ( | )
P₂ ( | )

Klicke zwei Punkte ins Koordinatensystem — oder trag sie ein.

Klickbares Koordinatensystem. Noch keine Punkte gesetzt.

Deine Aufgabe: Setzt die Punkte P₁(−1 | 1) und P₂(2 | −5). Rechnet m und n zuerst selbst im Heft und vergleicht dann mit dem Rechenweg unten.

Ein Klick setzt P₁, der zweite P₂ — ein dritter Klick beginnt von vorn. Die Punkte rasten auf halbe Kästchen ein.

Tipp
Wenn du lieber tippst: Zahlen in die Felder, dann „Gerade berechnen" oder Enter. Negative Zahlen mit Minus davor, halbe mit Komma: −1,5.
Für Profis
Setze zwei Punkte mit demselben x-Wert, zum Beispiel (2 | 1) und (2 | 4). Was sagt das Werkzeug — und warum gibt es dafür keine Gleichung y = m·x + n?

Der Rechenweg

Von zwei Punkten zur Gleichung

  • Klasse gemeinsam
  • ca. 10 Min.

Immer dieselben vier Zeilen. Erst die Steigung aus den Unterschieden der Koordinaten, dann n durch Einsetzen eines Punktes.

  1. Noch keine zwei Punkte — der Rechenweg erscheint, sobald oben beide gesetzt sind.

Die Formeln

  • Steigung: m = Δy : Δx = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁) — Höhenunterschied durch Breitenunterschied.
  • y-Achsenabschnitt: n = y₁ − m · x₁ — einen Punkt in y = m·x + n einsetzen und nach n umstellen.
  • Probe: den anderen Punkt einsetzen. Kommt sein y-Wert heraus, stimmt alles.

Deine Aufgabe: Berechne im Heft die Gerade durch A(1 | 3) und B(3 | 7) — mit allen vier Zeilen. Kontrolliere danach mit dem Werkzeug.

Tipp
Bei negativen Koordinaten Klammern setzen: 2 − (−1) = 2 + 1 = 3. Das Werkzeug zeigt die Klammern genauso.

Aus Eigenschaften

Wenn nur ein Punkt bekannt ist

  • Partnerarbeit
  • ca. 10 Min.

Oft kennst du keine zwei Punkte, sondern einen Punkt und eine Eigenschaft: die Steigung, eine parallele Gerade, eine senkrechte Gerade — oder die Nullstelle und n. Der Weg ist immer derselbe: erst m klären, dann den Punkt einsetzen und n ausrechnen.

P ( | )
Steigung

Koordinatensystem mit dem gegebenen Punkt und der gesuchten Geraden.

Deine Aufgabe: Bestimmt im Heft die Gerade mit m = −1,5 durch P(2 | 1). Dann die Parallele zu g: y = 0,5x + 1 durch P(−2 | 3). Kontrolliert beides mit dem Werkzeug.

Tipp
Bei „Parallel" übernimmst du m von g. Bei „Senkrecht" ist m der negative Kehrwert: aus 2 wird −½, aus −½ wird 2. Danach immer: Punkt einsetzen, nach n umstellen.

Ins Heft

Was du dir merken musst

  • Einzelarbeit
  • ca. 3 Min.
Merksatz

Gerade durch zwei Punkte: m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁), dann n = y₁ − m · x₁. Haben beide Punkte denselben x-Wert, ist die Gerade senkrecht — kein Funktionsgraph.

Aus Eigenschaften: erst m klären (gegeben, von der Parallelen, negativer Kehrwert bei senkrecht), dann den Punkt einsetzen und n ausrechnen.