Mathematik · Klasse 8–10
Was ist eine lineare Funktion?
Ein Startwert, eine feste Änderung – und aus Zahlen wird eine Gerade.
Der Einstieg
Eine Taxifahrt als Funktion
Ein Taxi kostet 3,50 € Grundpreis, sobald du einsteigst. Dazu kommen 2 € für jeden gefahrenen Kilometer. Der Preis hängt also von einer Zahl ab: den Kilometern.
| Kilometer x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Preis y in € | 3,50 | 5,50 | 7,50 | 9,50 | 11,50 | 13,50 |
Jeder Kilometer kostet gleich viel — der Preis wächst in gleichen Schritten. Zeichnet man die Wertepaare ein, liegen alle Punkte auf einer Geraden. Genau das heißt linear.
Der Term dazu
y = 2 · x + 3,5
- x sind die Kilometer — das, was du frei wählst.
- y ist der Preis — das, was dabei herauskommt.
- 2 ist die Änderung je Kilometer, 3,5 der Startwert bei x = 0.
Deine Aufgabe: Rechne im Kopf: Was kostet eine Fahrt über 10 km? Und über 12 km? Erkläre deinem Nachbarn, wie du gerechnet hast.
Das Werkzeug
Zwei Zahlen, eine Gerade
In jeder linearen Funktion stecken genau zwei Zahlen: m und n. Hier kannst du beide verändern und zusehen, was die Gerade macht.
y = x
Die Gerade steigt. Sie geht durch den Ursprung.
Koordinatensystem mit der Geraden y = x.
Deine Aufgabe: Stellt m auf 0. Was passiert mit der Geraden? Stellt dann n auf 0 und verändert nur m. Schreibt in einem Satz auf, was m tut und was n tut.
Der obere Regler ändert m, der untere n. Der Text unter den Reglern beschreibt die Gerade in Worten — vergleicht ihn mit dem Bild.
Tipp
Für Profis
Die Begriffe
So heißen die Teile
Jede lineare Funktion lässt sich so schreiben:
y = m · x + n
m — die Steigung
Sagt, wie steil die Gerade ist und ob sie steigt oder fällt. Gehe 1 nach rechts — dann geht die Gerade um m nach oben (oder bei negativem m nach unten).
n — der y-Achsenabschnitt
Der y-Wert bei x = 0. Dort schneidet die Gerade die y-Achse. In Sachaufgaben ist n der Startwert: Grundpreis, Anfangsbestand, Fixum.
Sonderfall n = 0
Ist n = 0, geht die Gerade durch den Ursprung (0 | 0). Dann heißt die Funktion proportional — das kennst du schon: doppelte Menge, doppelter Preis.
Deine Aufgabe: Beantworte die vier Fragen. Wenn du unsicher bist, stell die Gerade oben im Werkzeug ein und schau nach.
Kurz geprüft
Was ändert m, was ändert n?
Vier Fragen zu y = m·x + n. Stell dir die Gerade vor – oder stell sie oben im Werkzeug ein.
Ich weiß, was die Steigung m und der y-Achsenabschnitt n am Graphen bewirken.
Vier Fragen zu y = m·x + n. Stell dir die Gerade vor – oder stell sie oben im Werkzeug ein.
Du machst n größer, m bleibt gleich. Was passiert mit der Geraden?
Du machst m größer, n bleibt gleich. Was passiert?
Die Steigung ist negativ (zum Beispiel m = −2). Wie sieht die Gerade aus?
Was gilt für m = 0, zum Beispiel y = 0 · x + 3?
Ins Heft
Was du dir merken musst
Schreib die Sätze ab und füll die Lücken selbst — die Wörter stehen alle auf dieser Seite.
Schreib zuerst die Überschrift:Lineare Funktionen
Eine lineare Funktion hat die Gleichung y = · x + . Ihr Graph ist eine .
m heißt . Sie sagt, wie steil die Gerade ist.
n heißt . Das ist der y-Wert bei x = .