Nullstelle und Schnittpunkt

Wo schneidet die Gerade die x-Achse – und wo eine zweite Gerade?

Die Nullstelle

Wo schneidet die Gerade die x-Achse?

  • Partnerarbeit
  • ca. 10 Min.

Zwei Punkte einer Geraden sind besonders: der Schnittpunkt mit der y-Achse (das ist n, den kennst du) und der Schnittpunkt mit der x-Achse. Dort ist y = 0 — deshalb heißt seine x-Koordinate Nullstelle.

f: y = · x +

    Koordinatensystem mit der Geraden f, ihrer Nullstelle und ihrem Schnittpunkt mit der y-Achse.

    Deine Aufgabe: Berechnet im Heft die Nullstelle von y = 2x + 4 und von y = −3x + 6. Kontrolliert danach mit dem Werkzeug.

    Ansatz immer gleich: y = 0 setzen, dann nach x umstellen. Das Werkzeug zeigt die Zeilen so, wie sie im Heft stehen sollen.

    Tipp
    Beim Umstellen wandert n auf die andere Seite und wechselt das Vorzeichen: Aus 0 = 2x + 4 wird −4 = 2x. Dann durch m teilen.
    Für Profis
    Stell m = 0 ein. Was passiert mit der Nullstelle — und warum? Probiere auch m = 0 mit n = 0.

    Zwei Geraden

    Der Schnittpunkt von f und g

    • Partnerarbeit
    • ca. 10 Min.

    Zwei Geraden, die nicht parallel sind, schneiden sich in genau einem Punkt. Dort haben beide denselben x- und denselben y-Wert — deshalb darf man die Terme gleichsetzen.

    f: y = 0,5x − 2

    g: y = · x +

      Koordinatensystem mit den Geraden f und g und ihrem Schnittpunkt.

      Deine Aufgabe: Berechnet im Heft den Schnittpunkt von f: y = 2x − 1 und g: y = −x + 5. Stellt beide oben ein und vergleicht. Klickt dann „g parallel zu f" — was passiert mit dem Rechenweg?

      Die Gerade f ist dieselbe wie oben. Ändere sie dort, wenn du eine andere brauchst.

      Tipp
      Gleichsetzen: m₁·x + n₁ = m₂·x + n₂. Alle x auf eine Seite, alle Zahlen auf die andere, dann durch die Zahl vor dem x teilen. Das y bekommst du, indem du das x in eine der beiden Gleichungen einsetzt.

      Die Lage

      Parallel oder senkrecht?

      • Einzelarbeit
      • ca. 8 Min.

      An den Steigungen siehst du, wie zwei Geraden zueinander liegen — ohne Zeichnung.

      Parallel

      Gleiche Steigung: m₁ = m₂. Die Geraden haben denselben Abstand überall und schneiden sich nie — es sei denn, auch n ist gleich: dann ist es dieselbe Gerade.

      Senkrecht

      Die Steigungen sind negative Kehrwerte: m₁ · m₂ = −1. Zu m = 2 gehört m = −½, zu m = −4 gehört m = ¼. Zur waagerechten Geraden (m = 0) ist die Senkrechte eine senkrechte Gerade — kein Funktionsgraph.

      Deine Aufgabe: Beantworte die vier Fragen. Prüfe deine Antwort danach mit den Knöpfen „parallel" und „senkrecht" im Werkzeug oben.

      Kurz geprüft

      Parallel oder senkrecht?

      Vier Fragen zur Lage zweier Geraden. Schau auf die Steigungen.

      Ich erkenne an den Steigungen, wie zwei Geraden zueinander liegen.

      Mathematik Klasse 8–10 Lineare Funktionen

      Vier Fragen zur Lage zweier Geraden. Schau auf die Steigungen.

      f: y = 2x + 1 und g: y = 2x − 4. Wie liegen die Geraden zueinander?

      • Identisch – beide haben die Steigung 2.
      • Parallel – gleiche Steigung, verschiedenes n.
      • Senkrecht – die Vorzeichen von n sind verschieden.
      • Sie schneiden sich – gleiche Steigung, aber verschiedenes n.

      f hat die Steigung m = 2. Welche Steigung hat eine Gerade, die senkrecht auf f steht?

      • m = 0,5
      • m = 2
      • m = −0,5
      • m = −2

      f: y = 3x + 2 und g: y = −x + 2. Was stimmt?

      • Sie schneiden sich auf der y-Achse in (0 | 2).
      • Sie schneiden sich nicht, weil m verschieden ist.
      • Sie sind parallel, weil beide n = 2 haben.
      • Sie sind senkrecht, weil 3 und −1 verschieden sind.

      f: y = 4 ist waagerecht. Wie sieht eine Gerade aus, die senkrecht auf f steht?

      • Eine fallende Gerade wie y = −0,25x – der negative Kehrwert.
      • Eine senkrechte Gerade wie x = 2 – kein Funktionsgraph.
      • Eine Ursprungsgerade wie y = 4x – mit derselben Zahl.
      • Eine waagerechte Gerade wie y = −4 – gespiegelt an der x-Achse.

      Ins Heft

      Was du dir merken musst

      • Einzelarbeit
      • ca. 4 Min.
      Merksatz

      Nullstelle: y = 0 setzen und nach x umstellen — x = −n : m.

      Schnittpunkt: beide Terme gleichsetzen, x ausrechnen, dann y durch Einsetzen.

      Parallel: m₁ = m₂. Senkrecht: m₁ · m₂ = −1.