Gleichungssysteme graphisch lösen

Zwei Gleichungen, zwei Geraden – die Lösung ist der Schnittpunkt.

Die Idee

Zwei Gleichungen, zwei Geraden

  • Klasse gemeinsam
  • ca. 8 Min.

Eine Gleichung mit zwei Variablen wie 2x + y = 4 hat unendlich viele Lösungen — alle Zahlenpaare (x | y), die sie erfüllen. Zeichnet man sie ein, liegen sie auf einer Geraden. Zwei solche Gleichungen bilden ein Gleichungssystem: Gesucht ist das Paar, das beide erfüllt.

1

Nach y umstellen

Aus 2x + y = 4 wird y = −2x + 4. Jetzt siehst du m und n und kannst zeichnen.

2

Beide Geraden zeichnen

Startpunkt (0 | n), Steigungsdreieck, Lineal — für jede Gleichung.

3

Schnittpunkt ablesen und prüfen

Der Schnittpunkt ist die Lösung. Probe: seine Koordinaten in beide Gleichungen einsetzen.

Das Werkzeug

Umstellen, zeichnen, ablesen

  • Partnerarbeit
  • ca. 15 Min.

Trag zwei Gleichungen der Form a·x + b·y = c ein. Das Werkzeug stellt sie um und zeichnet beide Geraden — die Lösung liest du selbst ab und prüfst sie.

I: · x + · y =
II: · x + · y =

I: y = −2x + 4

    II: y = x + 1

      Koordinatensystem mit den Geraden zu Gleichung I und II.

      Lösung ( | )

      Deine Aufgabe: Löst fünf Systeme („Neues System"): Lest die Lösung am Bild ab, tragt sie ein, prüft. Klickt danach „Ein paralleles" und „Ein identisches" — was passiert mit der Lösung?

      Das Werkzeug verrät die Lösung nicht — es zeigt nur die Geraden. Die Probe setzt dein Paar in beide Gleichungen ein.

      Tipp
      Liegt der Schnittpunkt zwischen den Kästchen, hilft die Probe: Setz dein abgelesenes Paar in beide Gleichungen ein. Stimmt eine nicht, versuch die halbe Zahl daneben.
      Für Profis
      Trag für Gleichung II ein: a = 4, b = 2, c = 8. Was fällt dir auf — und warum gibt es jetzt unendlich viele Lösungen?

      Die drei Fälle

      Eine, keine oder unendlich viele Lösungen

      • Einzelarbeit
      • ca. 6 Min.

      Was du in Schritt 9 über die Lage zweier Geraden gelernt hast, entscheidet hier über die Lösbarkeit.

      Genau eine Lösung

      Verschiedene Steigungen — die Geraden schneiden sich in einem Punkt.

      Keine Lösung

      Gleiche Steigung, verschiedenes n — parallel, kein gemeinsamer Punkt.

      Unendlich viele

      Gleiche Steigung und gleiches n — dieselbe Gerade, jeder Punkt ist eine Lösung.

      Deine Aufgabe: Beantworte die drei Fragen zur Lösbarkeit.

      Kurz geprüft

      Eine, keine, unendlich viele?

      Drei Systeme, drei Fälle. Stell dir die Geraden vor – oder stell sie oben ein.

      Ich erkenne an der Lage zweier Geraden, wie viele Lösungen ein Gleichungssystem hat.

      Mathematik Klasse 8–10 Lineare Funktionen

      Drei Systeme, drei Fälle. Stell dir die Geraden vor – oder stell sie oben ein.

      I: y = 2x + 1 und II: y = −x + 4. Wie viele Lösungen hat das System?

      • Genau eine – verschiedene Steigungen, die Geraden schneiden sich.
      • Keine – die Geraden sind parallel, weil beide ein n größer als 0 haben.
      • Unendlich viele – jede der beiden Geraden hat unendlich viele Punkte.
      • Zwei – eine Lösung für jede der beiden Gleichungen, also zwei Paare.

      I: 2x + 2y = 6 und II: x + y = 5. Wie viele Lösungen?

      • Genau eine – die Zahlen 6 und 5 sind verschieden, also ein Punkt.
      • Keine – Gleichungen mit zwei Variablen kann man gar nicht lösen.
      • Keine – umgestellt haben beide m = −1, aber n = 3 und n = 5.
      • Unendlich viele – Gleichung II ist genau die Hälfte von Gleichung I.

      I: x − y = 2 und II: 3x − 3y = 6. Wie viele Lösungen?

      • Drei – wegen der 3, die in Gleichung II vor x und y steht.
      • Genau eine – zwei Gleichungen ergeben immer genau eine Lösung.
      • Keine – die Geraden sind parallel, weil 3 ≠ 1 und 6 ≠ 2 gilt.
      • Unendlich viele – II ist das Dreifache von I, also dieselbe Gerade.

      Ins Heft

      Was du dir merken musst

      • Einzelarbeit
      • ca. 3 Min.
      Merksatz

      Gleichungssystem graphisch lösen: beide Gleichungen nach y umstellen, beide Geraden zeichnen, Schnittpunkt ablesen, mit der Probe in beiden Gleichungen bestätigen.

      Schneiden: eine Lösung. Parallel: keine. Identisch: unendlich viele.